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  <title>动态规划背包问题 | renhao</title>
  








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          <h1 class="post-title" itemprop="name headline">动态规划背包问题</h1>
        

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              <time title="创建于" itemprop="dateCreated datePublished" datetime="2019-01-04T13:07:59+08:00">
                2019-01-04
              </time>
            

            

            
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    <div class="post-body" itemprop="articleBody">

      
      

      
        <blockquote>
<p>看到个有意思的面试题，整理了下</p>
</blockquote>
<p>首先了解下背包问题，动态规划的一个实例就是解决背包问题。<a id="more"></a></p>
<blockquote>
<p>wiki：<strong>背包问题</strong>（Knapsack problem）是一种<a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%84%E5%90%88%E4%BC%98%E5%8C%96" target="_blank" rel="noopener">组合优化</a>的<a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/NP%E5%AE%8C%E5%85%A8" target="_blank" rel="noopener">NP完全</a>问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。</p>
<p>组合优化：就是在一个有限的对象集中找到最优对象的一类课题，组合优化的问题特征是可行解的集是离散或者可以简化到离散，目标是找到最优解。</p>
</blockquote>
<p>条件：有<em>n</em>种物品，物品<em>j</em>的重量为<em>wj</em>，价格为<em>pj</em>。我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。背包所能承受的最大重量为<em>W</em>。</p>
<ul>
<li>0-1背包问题：限定每种物体只能选择0个或1个 </li>
<li>有界背包问题：限定物品j最多只能选择bj个</li>
<li>无界背包问题：不限定每种物品的数量</li>
</ul>
<h3 id="动态规划"><a href="#动态规划" class="headerlink" title="动态规划"></a>动态规划</h3><p>通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法</p>
<h4 id="适用情况"><a href="#适用情况" class="headerlink" title="适用情况"></a>适用情况</h4><ol>
<li>最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。</li>
<li>无后效性。即子问题的解一旦确定，就不再改变，不受在这之后、包含它的更大的问题的求解决策影响。</li>
<li>子问题重叠性质。子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的效率。</li>
</ol>
<h4 id="实例"><a href="#实例" class="headerlink" title="实例"></a>实例</h4><h5 id="斐波那契数列"><a href="#斐波那契数列" class="headerlink" title="斐波那契数列"></a>斐波那契数列</h5><p>用文字来说，斐波那契数列就是从0和1开始，之后的斐波那契数列就是由之前两数相加而得出（简单的说就是递归的方式定义）。</p>
<pre><code> function fib（n）
       if n = 0 or n = 1
           return n
       return fib(n − 1) + fib（n − 2）
</code></pre><p>这就是以递归的方式计算第n个值，但是这种递归的方式拆分开就会发现做了重复的计算，每一个n(n&gt;1)最后都会变成f(0)和f(1)相加的结果，这种算法的运算时间是以指数级增长的。采用的动态规划优化的方式就是将前n个已经算出的数保存在数组中，在后面的计算中直接应用前面的结果，从而避免了重复计算。算法的运算时间变为O(n)。</p>
<pre><code>array map [0...n] = { 0 =&gt; 0, 1 =&gt; 1 }
fib（n）
    if（map m does not contain key n）
        m[n] := fib(n − 1) + fib（n − 2）
    return m[n]
</code></pre><h5 id="背包问题"><a href="#背包问题" class="headerlink" title="背包问题"></a>背包问题</h5><p>用<a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92" target="_blank" rel="noopener">动态规划</a>，可以用<a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%AA%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E6%97%B6%E9%97%B4" target="_blank" rel="noopener">伪多项式时间</a>解决背包问题。</p>
<ul>
<li><p>无界背包</p>
<p>我们假定重量都是正数（wj &gt; 0）。在总重量不超过<em>W</em>的前提下，我们希望总价格最高。对于<em>Y</em> ≤ <em>W</em>，我们将在总重量不超过<em>Y</em>的前提下，总价格所能达到的最高值定义为<em>A</em>(<em>Y</em>)。<em>A</em>(<em>W</em>)即为问题的答案。</p>
<p>显然，<em>A</em>(<em>Y</em>)满足：</p>
<ul>
<li><em>A</em>(0) = 0</li>
<li><em>A</em>(<em>Y</em>) = max { <em>A</em>(<em>Y - 1</em>), { <em>pj</em> + <em>A</em>(<em>Y</em> - <em>wj</em>) | <em>wj</em> ≤ <em>Y</em> } }</li>
</ul>
<p>其中，<em>pj</em>为第<em>j</em>种物品的价格。关于第二个公式的一个解释：总重量为<em>Y</em>时背包的最高价值可能有两种情况，第一种是该重量无法被完全填满，这对应于表达式<em>A</em>(<em>Y - 1</em>)。第二种是刚好填满，这对应于一个包含一系列刚好填满的可能性的集合，其中的可能性是指当最后放进包中的物品恰好是重量为<em>wj</em>的物品时背包填满并达到最高价值。而这时的背包价值等于重量为<em>wj</em>物品的价值和当没有放入该物品时背包的最高价值之和。故归纳为表达式<em>pj</em> + <em>A</em>(<em>Y</em> - <em>wj</em>)。最后把所有上述情况中背包价值的最大值求出就得到了<em>A</em>(<em>Y</em>)的值。</p>
<p>复杂度分析：如果总重量为0，总价值也为0。然后依次计算<em>A</em>(0), <em>A</em>(1), …, <em>A</em>(<em>W</em>)，并把每一步骤的结果存入表中供后续步骤使用，完成这些步骤后<em>A</em>(<em>W</em>)即为最终结果。由于每次计算<em>A</em>(<em>Y</em>)都需要检查<em>n</em>种物品，并且需要计算<em>W</em>个<em>A</em>(<em>Y</em>)值，因此动态规划解法的时间复杂度为O(<em>nW</em>)</p>
</li>
<li><p>0-1背包问题</p>
<p>同样的前提：假定<em>w1</em>, …, <em>wn</em>和<em>W</em>都是正整数。我们将在总重量不超过<em>Y</em>的前提下，前<em>j</em>种物品的总价格所能达到的最高值定义为<em>A</em>(<em>j</em>, <em>Y</em>)。</p>
<p><em>A</em>(<em>j</em>, <em>Y</em>)的递推关系为：</p>
<ul>
<li><em>A</em>(0, <em>Y</em>) = 0</li>
<li>如果<em>wj</em> &gt; <em>Y</em>, <em>A</em>(<em>j</em>, <em>Y</em>) = <em>A</em>(<em>j</em> - 1, <em>Y</em>)</li>
<li>如果<em>wj</em> ≤ <em>Y</em>, <em>A</em>(<em>j</em>, <em>Y</em>) = max { <em>A</em>(<em>j</em> - 1, <em>Y</em>), <em>pj</em> + <em>A</em>(<em>j</em> - 1, <em>Y</em> - <em>wj</em>)}</li>
</ul>
<p>通过计算<em>A</em>(<em>n</em>, <em>W</em>)即得到最终结果。为提高算法性能，我们把先前计算的结果存入表中。因此算法需要的时间和空间都为O(<em>nW</em>)，通过对算法的改进，空间的消耗可以降至O(<em>W</em>)。</p>
</li>
</ul>
<h3 id="简单的面试题"><a href="#简单的面试题" class="headerlink" title="简单的面试题"></a>简单的面试题</h3><p><strong>题目：有1分2分5分的硬币组成1角，共有多少种组合？</strong></p>
<ul>
<li><p>第一种解法（也是最直观的解法）：暴力枚举法，就是直接定义循环累加或者递归</p>
<pre><code>void main(){
  int n = 0;
  // 5分硬币最多有i个
  for (int i=0; i&lt;3; i++)
  {
      // 2分硬币最多有10-5*i个
      for (int j=0; j&lt;=(10-5*i)/2; j++)
      {
          // 1分硬币的个数
          for (int k=0; k&lt;= 10 - 5*i - 2*j; k++)
          {
              if (10 == 5*i + 2*j +k)
              {
                  n++;
                  printf(&quot;5分：%d个，2分：%d个，1分：%d个&quot;,i,j,k);
              }
          }
      }
   }
   printf(&quot;所有组合有%d种&quot;,n);
</code></pre><pre><code>int fun(s,n){
    int count =0;
    int a[3] = { 1,2,5 };
    if(n&gt;2){
        if(s == 0) return 1;
        else return 0;
    }else{
        for(int i=0;s&gt;=i*a[n];i++){
            count += fun(s-i*a[n],n+1);
        }
    }
    return count;
}
int main(){
    printf(&quot;所有组合有%d种&quot;,fun(10,0));
    return 0;
}
</code></pre><p>递归的方法我也没有理解。</p>
</li>
<li><p>第二种解法：</p>
<p>简单分析，不难看出这就是个无界背包问题，同时也是Fibonacci的动态规划解法。</p>
<pre><code>int coinCombinations(int coins[], int coinKinds, int sum)
{
    vector&lt;vector&lt;int&gt; &gt; dp(coinKinds + 1, vector&lt;int&gt;(sum+1,0));

    for (int i = 0; i &lt;= coinKinds; ++i)    //递推初始条件
    {
        dp[i][0] = 1;
    }
    for (int i = 1; i &lt;= coinKinds; ++i)
    {
        for (int j = 1; j &lt;= sum; ++j)
        {
            dp[i][j] = 0;
            //j / coins[i-1]表示能取的该硬币的最大数量。
            for (int k = 0; k &lt;= j / coins[i-1]; ++k)   //i-1是因为coins是从0开始算起的。
            {
                dp[i][j] += dp[i-1][j - k * coins[i-1]];
            }
        }
    }

    return dp[coinKinds][sum];
}
</code></pre><p>dp[i][sum] = 用前i种硬币构成sum 的所有组合数。</p>
<p>状态转移方程：<br>dp[i][sum] = dp[i-1][sum - 0*Vm] + dp[i-1][sum - 1*Vm] + dp[i-1][sum - 2*Vm] + … + dp[i-1][sum - K*Vm]; 即前i中硬币构成sum的组合数是由前i-1中硬币构成sum中减去第i种硬币使用次数乘以币值的差的组合数累加。</p>
<p>其中K = sum / Vm，dp[i][0] = 1 where sum= 0 ，dp[0][sum] = 0 where i=0</p>
<p>其实本题就是Fibonacci问题，对应1分2分5分的硬币三种，组合成1角，共有多少种组合？ 这个问题就是： </p>
<p><code>f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-5) .其中f(0) = 1 , f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 2, f(4) = 3.</code></p>
<p>还有一种类似无界背包问题解决的算法（我没有理解）：</p>
<pre><code>int main(){
    int weight[] =[1,2,5];
    int dp[0]=1;
    for(int i=0;i&lt;3;i++){
        for(int j=weight[i];j&lt;10;j++){
            dp[j] += dp[j-weight[i]];
        }
    }
    pritf(&quot;所有组合有%d种&quot;,dp[10]);
    return 0;
}
</code></pre></li>
</ul>

      
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  <span class="author" itemprop="copyrightHolder">renhao</span>

  
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